任意の自然数をNとしたとき0.NNN・・・ってなる関数を作りたい

どうも!bouninngennnonitijouです!

今日は

任意の自然数をNとしたとき0.NNN・・・ってなる関数を作りたい

です!

例えば1は

$0.\dot{1}$

になって

15は

$0.\dot{1}\dot{5}$

になるという関数を作っていきます

高校数学1のなんですけど

循環小数を分数に直すっていうのやったじゃないですか。

たとえば $0.\dot{1}$ を分数に直すと、

循環しているのが1桁周期でループしているので

$r=0.\dot{1}$ と置くと

$10r=1.\dot{1}$ となりこの二つの式を引き算すると

$9r=1$ つまり

$r=\dfrac{1}{9}$

で表せるわけですね。

これを使って作っていきましょう!

$\dfrac{n}{\lfloor{nの\log_{10}}\rfloor個の9}$

になるかな

じゃあ分母を求めれば簡単ということが分かったので

n個の9が求めれる関数を作ればいいので、

$\displaystyle\sum_{m=0}^n 10^{m}\cdot9-10^{n}\cdot9$

これでいけました

そしてさっきの関数に当てはめれば(いけなかったところは修正しています)

$\displaystyle\dfrac{n}{\displaystyle\sum_{m=0}^{\lfloor{\log(n)}\rfloor+1} 10^{m}\cdot9-10^{n}\cdot9}$

になるはず

これをdesmos君に入れてみましょう

お!1はいけた

次は

え?

ちょっと計算します

直した

$\displaystyle\dfrac{n}{\displaystyle\sum_{m=0}^{\lfloor{\log(n)}\rfloor+1} 10^{m}\cdot9-10\cdot9}$

なら一桁目まで出来ました。

そして9は9で割る以上1になってしまいます(まあ $0.\dot{9}$ は1なんですけど)

二桁目は、

こうなります。

んー改善の余地があります。

ごり押しで場合分けすれば行けるか?

でも1桁まではあってるので満足です。

このぐらいの数学力で出来たことが嬉しいです。

(まあ一桁目までなら $\dfrac{n}{9}$ でできるんですが)

ということで

おしまい

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