収束が早い円周率の公式!【検証】

どうも!円周率って色々公式あることを知ったbouninngennnonitijouです!

今回は、円周率の公式を対決させていきます。

今回エントリーするのは、

1.ラマヌジャンの公式: ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(26390n+1103)\cdot (4n)!}{(4^{n}99^{n}\cdot n!)^{4}}}$

ラマヌジャンの円周率を求める公式は、3個ぐらいあるけど計算が大変そうだからこれだけを計算します。

2.マチンの公式: $4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}$

3.ガウス=ルジャンドルのアルゴリズム: $a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.$

${\begin{aligned}a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\\p_{n+1}=2p_{n}.\end{aligned}}$

$\pi \approx {\frac {1}{4t_{n}}}(a_{n}+b_{n})^{2}$

これは、2002年に1.24兆桁計算したスーパー $\pi$ にも利用された公式です。

今回はこんな感じのラインナップで計算していきます。

でもラマヌジャンの公式を $n=0$ で試しただけでこれはきついなと思ったので、どうやって計算しようかな～

よし!C++をプログラムをするぞ!

続く

おしまい

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